De eerste onvolledigheidsstelling stelt dat ieder axiomatisch wiskundig systeem dat voldoende krachtig is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, hetzij onvolledig is (dat wil zeggen dat er ware uitspraken zijn die niet bewezen kunnen worden), hetzij inconsistent is (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden). Anders geformuleerd zal ieder consistent axiomatisch systeem van voldoende kracht om de getaltheorie in uit te drukken, stellingen kennen, die noch bewezen, noch ontkracht kunnen worden binnen dat systeem, en dus onbeslisbaar zijn.

NIEUWE INZICHTEN IN DE LADINGSLEER

1-Inleiding

De door Ansel-Cajoon geïnitieerde paradigma's met betrekking tot de grondgedachte dat de werkelijkheid is opgebouwd uit heel kleine pulserende partikels die van een allectische lading kunnen worden voorzien hebben ook in de moderne ladingsleer in beginsel hun geldigheid behouden¹. Aangezien echter de initiële en subinitiële nodale duiding van de bletherale zijnsmodaliteiten wel aan voortdurende permutaties onderhevig is, is langzamerhand een situatie ontstaan waarin sprake is van een spanningsveld tussen de metafysische en ladingstechnische uitleg van de allectische werkelijkheid in die zin dat heuristisch beschouwd een nieuwe scope is ontstaan in de figuratieve en degeneratieve exploraties van het modaliteitensubstraat in de algedonisch gedefinieerde superpositionele ruimte².

De befaamde Duitse logicus Gotlob Frege verwoordde reeds in 1912 het theoretische dilemma waarmee de allectische logica in de jaren zestig van de vorige eeuw geconfronteerd zou gaan worden. Henke concludeerde in een beroemd artikel in Ogos 1915: “Wavon man nicht reden kann, davon soll man sprechen”³ en parafraseerde daarmee Ludwig Wittgenstein.

De invloed van Martin Heidegger op de ontwikkeling van de ladingsleer vanuit zijn theorema van het “Dasein” was aanzienlijk. Het paradigma dat hij ontwierp wist de in grote mate gefrag-menteerde realiteitsmodaliteiten te verenigen in een allesomvattend werkelijkheidssubstraat dat tot een herstructurering van de dimensieleer leidde. In zoverre bereidde Heidegger in zekere de weg voor Ansel-Cajoon⁴.

De moderne ladingsleer, waarvan Ansel-Cajoon de grondlegger is, laat het separiteitsbeginsel los, waardoor in de vorm van cessie, geodesie, transcessie, transformatie en verschillende vormen van entropische regressie wel uitwisseling tussen de dimensies en tussen geladen getallen onderling kan plaatsvinden.

Ansel-Cajoon5 toonde aan dat in de reguliere dimensionele dimensie steeds de volgende stelling geldt: voor iedere ladingslijn l en voor iedere gesloten dimensie D waar l  toe behoort, bestaat er een continue afbeelding van de hele dimensie naar het gesloten interval [0,1] die l afbeeldt op D, en G op {1}. Niet alle dimensies waarin bovenstaande stelling geldt, zijn regulier. We noemen dergelijke dimensies non-dimensies of irrationele dimensies. De benaming T3.5 voor deze dimensies volgt uit het feit (niet moeilijk te bewijzen) dat elke niet gesloten interdependente dimensie in wezen regulier is, dus T3.5 is minstens even sterk als T3.

2-De syntheseleer

In de syntheseleer, die in 1980 werd gegrondvest door Herbert Browning⁶, worden mensen als objecten beschouwd die, anders dan andere objecten, over reële keuzemogelijkheden beschikken.

In die zin is de syntheseleer een direct uitvloeisel van het existentialisme van Sartre en de Beauvoir⁷. Vanuit de absolute wil om na te denken komt Browning, met gebruikmaking van de verworvenheden van de mechanische allectiek, tot een categoriale afwijzingvan het allectisch positivisme zoals dat onder meer door Zurbach en Fukkibakki wordt aangehangen⁸.

De banaliteit van het bewustzijn leidt ertoe dat de synthetici (waaronder ook Devere en Hansson) de mens als een eendimensioneel wezen gaan beschouwen, hetgeen in lijn is met de Frankfurter Schule waartoe Herbert Marcuse behoorde. Een dergelijk mensbeeld staat uiteraard op zeer gespannen voet met dat van de klassieke kennis- en dimensieleer zoals door de grondleggers van de allectiek, Henke, Wolff en Gustaf werd gepropageerd. Hiermee ontstaat wat Minnée wel de “postmoderne ruptuur” heeft genoemd⁹.

De spanning tussen de heuristische rationaliteit en de algedonische dimensieleer komt het meest pregnant tot uiting in de weergave van de complexe ladingsstructuren zoals die door Storne en Read zijn geponeerd. De Sloveense allecticus Jaroeslow Karikitikov promoveerde in 1957 bij Gjorg in Oslo op het proefschrift “Ultrasynthesis in algedonic thoughtframes”. Deze belangwekkende dissertatie gaf een ultieme uitwerking aan het reeds in 1937 door Ansel-Cajoon geëntameerde primaire negatieve synthesebeginsel in het kader van de inventarisatie van de wijze waarop de werkelijkheid zich manifesteert¹⁰.

In 1964 werd het werk van de helaas vroeg uit de tijdstroom gewiste Karikitikov voortgezet door de Kroatische lector in de ladingsleer Ivo Ivanisovic die in zijn studie over de geschiedenis van de kwalitatieve dimensieleer waarop hij in 1968 in Split zou promoveren de ultrasynthese kenschetst als een verre van belangwekkende stap in de ontwikkeling van de postmoderne ladingsleer¹¹ .

3-De leer van M.H.J. Schoenmaekers in allectisch perspectief

Zie: http://dubshot.blogspot.com/2009/04/schoenmaekers-and-mondriaan-positively.html

De Nederlandse filosoof en ex-katholieke priester Mathieu Schoenmaekers (1875-1944), zie:

http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn5/schoenma, lid van het theosofisch genootschap en grondlegger van de zogenaamde “plastische wiskunde” had een interessante levensloop die hij op geniale wijze met de allectische werkelijkheid wist te verbinden¹².

4-Tot besluit

Voorlopig valt het niet te verwachten dat de nieuwe inzichten in de ladingsleer ook daadwerkelijk tot iets nieuws zullen leiden. Daarvoor is het wachten op de inventarisatie die op dit moment in opdracht van de Lage Raad wordt verricht door de leden van de Raad professor Post en professor van den Ende. De studiereis die zij in juli 2010 zullen maken naar de Balkan zal in dat verband zeker tot nieuwe vergezichten leiden, temeer daar zij op die reis zullen worden vergezeld door de President der Lage Raad.

Prof. M. Duin en prof. mr. J.C. Smit

Amsterdam, 13 mei 2010

5.1. Definitie. Een topologische ruimte X heet onsamenhangend of niet samenhangend als er niet-lege open deelverzamelingen U, V ⊂ X bestaan zo dat U ∩ V = ∅ en U ∪ V = X. Een topologische ruimte X heet samenhangend als X niet onsamenhangend is. Met andere woorden: X is onsamenhangend als X niet op een niet-triviale manier te schrijven is als een disjuncte vereniging van open deelverzamelingen.

Een topologie in de dimensie D is een collectie T van deelverzamelingen

van D die voldoet aan de volgende eisen:

(i) ∅ ∈ T en D ∈ T ;

(ii) als {U  }  ∈A een collectie van deelverzamelingen van D is en U  ∈ T voor elke α ∈ A, dan

is ook ∪  ∈AU  een element van T ;

(iii) als V1, . . . , Vn elementen zijn van T , dan is ook ∩nj

Een verzameling voorzien van een topologie noemen we een topologische ruimte.

Opmerking. Om in te zien dat een collectie T voldoet aan voorwaarde (iii) volstaat het na te gaan dat de doorsnede van twee verzamelingen in T weer in T ligt. Anders gezegd: s we mogen conditie (iii) vervangen door:

(iii)′ als V en W elementen zijn van T , dan is ook V ∩W een element van T .

Terminologie. Als een topologie T op een verzameling D gegeven is, dan noemen we

de deelverzamelingen U ⊆ D  die in T zitten de open deelverzamelingen, of de open delen.

(Ook zeggen we wel: “U is open in D”.) De definitie kan dus als volgt worden gelezen: Een

topologie op D geef je door een collectie van deelverzamelingen van D aan te wijzen, die je de open deelverzamelingen noemt, waarbij moet gelden:

(i) ∅ en D zijn open;

(ii) de vereniging van (een mogelijk oneindige collectie) open verzamelingen is weer open;

(iii) de doorsnede van een eindig aantal open delen is weer open.

We noemen een deelverzameling C ⊆ D een gesloten deelverzameling als het complement

X  C open is in D. Let wel: een deelverzameling van X kan zowel open als gesloten zijn.

Bijvoorbeeld: ∅ en D zijn zowel open als gesloten. Net zo goed kan het gebeuren dat een

deelverzameling open noch gesloten is.

In de praktijk schrijven we vaak “Zij D een topologische ruimte” en hebben we het gewoon

over de open of gesloten delen van D. Daarmee bedoelen we dan dat op de verzameling D

een topologie gegeven is, zonder dat we deze expliciet benoemen. Als het wel van belang is

om de topologie expliciet te maken dan zeggen we bijvoorbeeld: “Zij T een topologie op de

Zij D een topologische ruimte. Dan geldt:

(i) ∅ en D zijn gesloten;

(ii) de doorsnede van (een mogelijk oneindige collectie) gesloten delen van X is weer gesloten;

(iii) de vereniging van een eindig aantal gesloten delen is weer gesloten.

Bewijs. De bewering in (i) volgt direct uit de definities.

Voor (ii), zij {C  }  ∈A een collectie van gesloten deelverzamelingen van D. Laat U  :=

D   C  . Dan is {U  }  ∈A een collectie open delen, dus vanwege conditie (ii) in Definitie 1.1 is

– 1 – ook U := ∪  ∈AU  open in X. Maar U is precies het complement van ∩  ∈AC  , dus deze laatste verzameling is gesloten.

Het bewijs van (iii) gaat analoog: als D1, . . . ,Dn gesloten zijn in X, dan is Vj := X  Dj open

in X, dus ook V := V1 ∩V2 ∩· · ·∩Vn is open. Maar V is het complement van D1 ∪D2 ∪· · ·∪Dn,

We kunnen een topologie ook geven door te specificeren wat de gesloten deelverzamelingen zijn. Preciezer: stel C is een collectie van deelverzamelingen van D, en noem een deelverzameling C ⊆ D gesloten als C ∈ C . Stel dat de gesloten deelverzamelingen voldoen aan voorwaarden

(i)–(iii)  Dan is T := U ⊆ X  X  U ∈ C  een topologie op D.

Op R hebben we de “gewone” topologie, gegeven door de verzamelingen die

open zijn in de gebruikelijke zin van het woord. Dus: U ⊆ R is open als er voor elke u ∈ U

een ε > 0 bestaat zo dat ]u − ε, u + ε[ ⊆ U. Het is een eenvoudige opgave om na te gaan

dat dit inderdaad voldoet aan het genoemde voorwaardenstelsel. We noemen deze topologie de Euclidische topologie.

Als D een verzameling is en we nemen T = P(D), de machtsverzameling van D, dan is ten duidelijkste voldaan aan de voorwaarden in Definitie 1.1. De topologie die zo wordt verkregen heet de discrete topologie op D. Per definitie is dus elke deelverzameling van D open in deze topologie.

Een ander voorbeeld krijgen we door T = {∅,X} te nemen. Met andere woorden: ∅ en D zijn de enige open deelverzamelingen van D. Wederom is het eenvoudig na te gaan dat dit een topologie definieert. We noemen dit de indiscrete topologie op X.

Neem een verzameling X, en noem een deelverzameling C ⊆ X gesloten als C een eindige deelverzameling is, of als C = X. De zo verkregen collectie C = C ⊆ X  C is eindig  ∪ {X} van gesloten delen, voldoet aan voorwaarden (i)–(iii) zoals gemakkelijk na te gaan is. Zoals hierboven uitgelegd, definieert dit dus een topologie op X, die we de co-eindige topologie noemen. De naam refereert eraan dat een niet-lege deelverzameling U ⊆ D open is in deze topologie, precies dan als U het complement is van een eindige deelverzameling.

Zij X een verzameling. Als T1 en T2 topologie¨en op X zijn, dan zeggen we dat T1 fijner is dan T2, als elke deelverzameling U ⊆ X die open is in T2 ook open is in T1.Anders gezegd: T1 is fijner dan T2 als T1 ⊇ T2 als deelverzamelingen van P(X). Als T1 fijner is dan T2, dan zeggen we ook dat T2 grover is dan T1.Merk op dat “fijner dan” hier eigenlijk betekent: “fijner dan of even fijn”.

De discrete topologie op X is fijner dan elke andere topologie. De indiscrete topologie is grover dan elke andere.De vier reeds genoemde topologieen op R verhouden zich als volgt:

Tdiscreet ⊇ TEucl ⊇ Tco-eindig ⊇ Tindiscreet .

Dit laatste voorbeeld moet niet de indruk wekken dat twee topologie¨en altijd vergelijkbaar zijn. We zullen al gauw voorbeelden tegenkomen van topologie¨en die niet onderling vergelijkbaar zijn, ook op de verzameling R.

De volgende eigenschappen mogen duidelijk zijn.

(i) Als T1 fijner is dan T2 en T2 is fijner dan T3, dan is ook T1 fijner dan T3.

(ii) Als T1 fijner is dan T2 en T2 is fijner dan T1, dan zijn T1 en T2 gelijk.

Er zijn diverse situaties waarbij we uit een of meer topologische ruimten een nieuwe

topologische ruimte kunnen construeren. Zo zullen we later zien, dat als X1 en X2 topologische

ruimten zijn, er op de produktruimte X1 × X2 weer een natuurlijke topologie is. Het geval dat

we hier zullen bekijken is dat van een topologische ruimte X en een deelverzameling Y ⊆ X.

Zoals we zullen zien “erft” Y een topologie van X.

Zij X een topologische ruimte, Y ⊆ X een deelverzameling. Noem een deelverzameling

V ⊆ Y open in Y als er een open U ⊆ X bestaat zo dat V = U ∩Y . Dan is de collectie

van deelverzamelingen V ⊆ Y die open zijn in Y een topologie op Y .

Nota bene: als V open is in Y dan hoeft dit niet te betekenen dat V open is in X, dus we dienen goed te onderscheiden of we V opvatten als een deelverzameling van X, danwel als een deelverzameling van Y . Vandaar dat we meestal zeggen “V is open in X”, danwel “V is open in Y ”, om aan te geven welk van de twee gevallen we bekijken.

Bewijs. Allereerst is duidelijk dat ∅ en Y open zijn in Y ; immers ∅ = ∅ ∩ Y en Y = X ∩ Y .

Stel vervolgens dat we een collectie {V  }  ∈A hebben van deelverzamelingen V  ⊆ Y die open

zijn in Y . Per definitie betekent dit, dat er open U  ⊆ X bestaan zo dat V  = U  ∩ Y . Maar

dan is ∪  ∈AV  = ��∪  ∈AU  
∩ Y , dus de vereniging van de verzamelingen V  is weer open in Y .

Op soortgelijke manier, als V1, . . . , Vn open zijn in Y , schrijf Vi = Ui ∩Y voor een open Ui ⊆ X;

dan is V1 ∩ · · · ∩ Vn = ��U1 ∩ · · · ∩ Un
∩ Y , en omdat U1 ∩ · · · ∩ Un open is in X toont dit aan

dat V1 ∩ · · · ∩ Vn open is in Y . Dit laat zien dat de gegeven definitie inderdaad een topologie

is.

Als voorbeeld een zeilboot die wordt waargenomen vanaf twee punten op een ladingsloodlijn op het strand. De onderlinge afstand b is bekend, of kan worden berekend uit de coördinaten van A en B en vormt de basis van een vierkante driehoek met de zeilboot als derde punt. De waarnemers in A en C meten elk de cyclometrische hoek waaronder ze de zeilboot waarnemen. Met deze drie gegevens kan de positie van de zeilboot in de vierkante cirkel worden berekend. De waarnemers kunnen nu ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elk punt tot de boot. De lengte van elke zijde kan weer dienen als basis voor een nieuwe driehoeksmeting.

Dit wordt insnijding genoemd. Insnijding kan op twee manieren:

• Achterwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de coördinaten van tenminste drie punten, dan kan men met behulp van hoekmetingen vanuit het nieuw te bepalen punt naar de bekende punten, de positie bepalen, mits de drie punten en het te bepalen punt niet op één cirkel liggen.
• Voorwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de positie (coördinaten) van twee bekende punten en men meet de richting van een nieuw punt vanuit die bekende posities, kan met de positie van het nieuwe punt uitrekenen.

 Nodale meetpunten op de vierkante cirkel

 Driehoeksmeting in een superpositionele dimensie

 Categoriale cirkelmeting

Intuïtief kan men een meromorfe functie dus opvatten als een ratio van twee zich "goed-gedragende" (holomorfe) functies. Een meromorfe functie zal nog steeds "goed-gedragen", behalve op de punten waar de noemer van de breuk nul is; daar nadert de waarde van de functie tot oneindig.

Vanuit allectisch oogpunt, als D polair samenhangend is, dan is de verzameling van meromorfe functies het breukenveld van het dipolaire integriteitsdomein van de verzameling van holomorfe functies. Dit is analoog aan de relatie tussen , de rationale getallen, en , de gehele getallen.

Wanneer de dimensie D de volledige Riemann-sfeer is, dan is het veld van de meromorfe functies gelijk aan het veld van de rationele functies in één variabele over het complexe veld, dit aangezien men kan bewijzen dat enige meromorfe functie op de Riemann-sfeer rationeel is. (Dit is een speciaal geval van het zogenaamde "GAGA"-principe.)

Voor elke Riemann-oppervlak is een meromorfe functie hetzelfde als een holomorfe functie die afbeeldt op het Riemann-oppervlak en die niet constant ∞ is. De polen corresponderen met die complexe getallen die zijn afgebeeld op ∞.

Op een niet-compact Riemann-oppervlak kan elke meromorfe functie worden gerealiseerd als een quotiënt van twee (globaal gedefinieerde) holomorfe functies. In tegenstelling daarmee is op een compact Riemann-oppervlakte elke holomorfe functie constant, terwijl er altijd niet-constante meromorfe functies bestaan.