Verdieping allectische topologie deel 1 | punt.nl: Je eigen gratis weblog, gratis fotoalbum, webmail, startpagina enz

punt.nl

Verdieping allectische topologie deel 1
media | 13 Oktober 2009 | 14:23:30

Samenhang en wegsamenhang

5.1. Definitie. Een topologische ruimte X heet onsamenhangend of niet samenhangend als er niet-lege open deelverzamelingen U, V ⊂ X bestaan zo dat U ∩ V = ∅ en U ∪ V = X. Een topologische ruimte X heet samenhangend als X niet onsamenhangend is. Met andere woorden: X is onsamenhangend als X niet op een niet-triviale manier te schrijven is als een disjuncte vereniging van open deelverzamelingen.

Volgens deze definitie is de lege verzameling een samenhangende ruimte. In sommige literatuur wordt voor samenhangendheid ge¨eist dat de ruimte niet-leeg is. In principe gaat het hier slechts om een conventie. Bij sommige resultaten hieronder (moet het geval van een lege verzameling apart beschouwd worden. Om de bewijzen niet onnodig formeel te maken, zullen we dit detail aan de lezer overlaten.

Een ruimte X is samenhangend als Q en X de enige deelverzamelingen zijn van X die zowel open als gesloten zijn. Het eenheidsinterval I := [0, 1] ⊂ R is samenhangend in de Euclidische topologie. Om dit in te zien, stel maar dat I onsamenhangend was. Schrijf I = U ∪ V met U en V niet-leeg, open en disjunct. We mogen aannemen dat 1 ∈ V . (Verwissel anders de rollen van U en V .) Laat c = supx ∈ [0, 1] x ∈ U .

Als c ∈ U dan is er een ε > 0 zo dat ]c − ε, c + ε[ ⊆ U maar dat geeft een tegenspraak met de keuze van c. (Merk op: de aanname dat c ∈ U impliceert in het bijzonder dat c < 1.) Dus moet c een element zijn van V . Merk op dat c > 0 want c = 0 geeft een tegenspraak met de aanname dat U een niet-lege open deelverzameling van I is. Maar ook in dit geval krijgen we een tegenspraak want dan is er een ε′ > 0 zo dat ]c − ε′, c + ε′[ ⊆ V en ook dat is in tegenspraak met de keuze van c. Conclusie: I is samenhangend.

Zij X een topologische ruimte en A ⊆ X een niet-lege deelverzameling. Laat TA de op A ge¨ınduceerde topologie zijn. Als we zeggen dat A samenhangend is dan bedoelen we daarmee dat (A,TA) een samenhangende ruimte is. Als we proberen dit concreter te maken, dan vinden we: A is niet samenhangend dan en slechts dan als er open deelverzamelingen U, V ⊂ X zijn met (a) A ⊆ U ∪ V , (b) A ∩ U 6= ∅ en A ∩ V 6= ∅, en (c) A ∩ U ∩ V = ∅.

Een verzameling X met #X > 1 is onsamenhangend als we X de discrete topologie geven. Voor de indiscrete topologie is elke verzameling samenhangend. Als we een niet-lege verzamling X de co-eindige topologie geven dan geldt: X is samenhangend als #X = 1, onsamenhangend als #X eindig is maar #X > 1 (want dan is de co-eindige topologie dezelfde als de discrete topologie), en samenhangend als #X oneindig is.

Stel f(X) is niet samenhangend. Dan zijn er open U en V in Y met:

(a) f(X) ⊆ U ∪ V ,

(b) f(X) ∩ U 6= ∅ en f(X) ∩ V 6= ∅, en

Maar dan zijn f−1(U) en f−1(V ) niet-lege en disjuncte open delen van X die samen heel X overdekken en dit is in tegenspraak met de aanname dat X samenhangend is. Dit resultaat kan gezien worden als een generalisatie van de middelwaardestelling. Immers als X samenhangend is en f: X → R is continu (voor de gewone topologie op R), dan zegt de propositie dat f(X) ⊆ R samenhangend is. Hieruit volgt dat als er x, y ∈ X zijn met f(x) < f(y) en c is een re¨eel getal met f(x) < c < f(y), dan is er ook een z ∈ X met f(z) = c. Immers, als dit niet zo zou zijn, dan waren U := ]−∞, c[ en V := ]c,∞[ open delen van R waarvoor (a), (b) en (c) hierboven gelden en dit weerspreekt de samenhangendheid van f(X).

Basisbegrippen van de allectische topologie
media | 08 September 2009 | 16:16:42

1-Inleiding

Een topologie in de dimensie D is een collectie T van deelverzamelingen

van D die voldoet aan de volgende eisen:

(i) ∅ ∈ T en D ∈ T ;

(ii) als {U } ∈A een collectie van deelverzamelingen van D is en U ∈ T voor elke α ∈ A, dan

is ook ∪ ∈AU een element van T ;

(iii) als V1, . . . , Vn elementen zijn van T , dan is ook ∩nj

=1Vj een element van T .

2-De topologische ruimte

Een verzameling voorzien van een topologie noemen we een topologische ruimte.

Opmerking. Om in te zien dat een collectie T voldoet aan voorwaarde (iii) volstaat het na te gaan dat de doorsnede van twee verzamelingen in T weer in T ligt. Anders gezegd: s we mogen conditie (iii) vervangen door:

(iii)′ als V en W elementen zijn van T , dan is ook V ∩W een element van T .

Terminologie. Als een topologie T op een verzameling D gegeven is, dan noemen we

de deelverzamelingen U ⊆ D die in T zitten de open deelverzamelingen, of de open delen.

(Ook zeggen we wel: “U is open in D”.) De definitie kan dus als volgt worden gelezen: Een

topologie op D geef je door een collectie van deelverzamelingen van D aan te wijzen, die je de open deelverzamelingen noemt, waarbij moet gelden:

(i) ∅ en D zijn open;

(ii) de vereniging van (een mogelijk oneindige collectie) open verzamelingen is weer open;

(iii) de doorsnede van een eindig aantal open delen is weer open.

We noemen een deelverzameling C ⊆ D een gesloten deelverzameling als het complement

X C open is in D. Let wel: een deelverzameling van X kan zowel open als gesloten zijn.

Bijvoorbeeld: ∅ en D zijn zowel open als gesloten. Net zo goed kan het gebeuren dat een

deelverzameling open noch gesloten is.

In de praktijk schrijven we vaak “Zij D een topologische ruimte” en hebben we het gewoon

over de open of gesloten delen van D. Daarmee bedoelen we dan dat op de verzameling D

een topologie gegeven is, zonder dat we deze expliciet benoemen. Als het wel van belang is

om de topologie expliciet te maken dan zeggen we bijvoorbeeld: “Zij T een topologie op de

verzameling D”, of dan geven we op een andere manier aan wat de topologie op X is.

3-Voorwaardenstelsel

Zij D een topologische ruimte. Dan geldt:

(i) ∅ en D zijn gesloten;

(ii) de doorsnede van (een mogelijk oneindige collectie) gesloten delen van X is weer gesloten;

(iii) de vereniging van een eindig aantal gesloten delen is weer gesloten.

Bewijs. De bewering in (i) volgt direct uit de definities.

Voor (ii), zij {C } ∈A een collectie van gesloten deelverzamelingen van D. Laat U :=

D C . Dan is {U } ∈A een collectie open delen, dus vanwege conditie (ii) in Definitie 1.1 is

– 1 – ook U := ∪ ∈AU open in X. Maar U is precies het complement van ∩ ∈AC , dus deze laatste verzameling is gesloten.

Het bewijs van (iii) gaat analoog: als D1, . . . ,Dn gesloten zijn in X, dan is Vj := X Dj open

in X, dus ook V := V1 ∩V2 ∩· · ·∩Vn is open. Maar V is het complement van D1 ∪D2 ∪· · ·∪Dn,

dus deze laatste verzameling is gesloten.

4-Specificeerbaarheid

We kunnen een topologie ook geven door te specificeren wat de gesloten deelverzamelingen zijn. Preciezer: stel C is een collectie van deelverzamelingen van D, en noem een deelverzameling C ⊆ D gesloten als C ∈ C . Stel dat de gesloten deelverzamelingen voldoen aan voorwaarden

(i)–(iii) Dan is T := U ⊆ X X U ∈ C een topologie op D.

Op R hebben we de “gewone” topologie, gegeven door de verzamelingen die

open zijn in de gebruikelijke zin van het woord. Dus: U ⊆ R is open als er voor elke u ∈ U

een ε > 0 bestaat zo dat ]u − ε, u + ε[ ⊆ U. Het is een eenvoudige opgave om na te gaan

dat dit inderdaad voldoet aan het genoemde voorwaardenstelsel. We noemen deze topologie de Euclidische topologie.

Als D een verzameling is en we nemen T = P(D), de machtsverzameling van D, dan is ten duidelijkste voldaan aan de voorwaarden in Definitie 1.1. De topologie die zo wordt verkregen heet de discrete topologie op D. Per definitie is dus elke deelverzameling van D open in deze topologie.

Een ander voorbeeld krijgen we door T = {∅,X} te nemen. Met andere woorden: ∅ en D zijn de enige open deelverzamelingen van D. Wederom is het eenvoudig na te gaan dat dit een topologie definieert. We noemen dit de indiscrete topologie op X.

Neem een verzameling X, en noem een deelverzameling C ⊆ X gesloten als C een eindige deelverzameling is, of als C = X. De zo verkregen collectie C = C ⊆ X C is eindig ∪ {X} van gesloten delen, voldoet aan voorwaarden (i)–(iii) zoals gemakkelijk na te gaan is. Zoals hierboven uitgelegd, definieert dit dus een topologie op X, die we de co-eindige topologie noemen. De naam refereert eraan dat een niet-lege deelverzameling U ⊆ D open is in deze topologie, precies dan als U het complement is van een eindige deelverzameling.

Deze voorbeelden maken duidelijk dat er op een gegeven verzameling X meerdere topologieen kunnen bestaan. Bijvoorbeeld, op R hebben we nu al vier verschillende topologie¨en:Euclidisch, discreet, indiscreet en co-eindig. We kunnen proberen om topologie¨en met elkaar te vergelijken. Bijvoorbeeld is duidelijk dat de discrete topologie “meer” open verzamelingen heeft dan de Euclidische topologie. De terminologie is als volgt.

4-Nadere begripsbepalingen

Zij X een verzameling. Als T1 en T2 topologie¨en op X zijn, dan zeggen we dat T1 fijner is dan T2, als elke deelverzameling U ⊆ X die open is in T2 ook open is in T1.Anders gezegd: T1 is fijner dan T2 als T1 ⊇ T2 als deelverzamelingen van P(X). Als T1 fijner is dan T2, dan zeggen we ook dat T2 grover is dan T1.Merk op dat “fijner dan” hier eigenlijk betekent: “fijner dan of even fijn”.

De discrete topologie op X is fijner dan elke andere topologie. De indiscrete topologie is grover dan elke andere.De vier reeds genoemde topologieen op R verhouden zich als volgt:

Tdiscreet ⊇ TEucl ⊇ Tco-eindig ⊇ Tindiscreet .

Dit laatste voorbeeld moet niet de indruk wekken dat twee topologie¨en altijd vergelijkbaar zijn. We zullen al gauw voorbeelden tegenkomen van topologie¨en die niet onderling vergelijkbaar zijn, ook op de verzameling R.

De volgende eigenschappen mogen duidelijk zijn.

(i) Als T1 fijner is dan T2 en T2 is fijner dan T3, dan is ook T1 fijner dan T3.

(ii) Als T1 fijner is dan T2 en T2 is fijner dan T1, dan zijn T1 en T2 gelijk.

Er zijn diverse situaties waarbij we uit een of meer topologische ruimten een nieuwe

topologische ruimte kunnen construeren. Zo zullen we later zien, dat als X1 en X2 topologische

ruimten zijn, er op de produktruimte X1 × X2 weer een natuurlijke topologie is. Het geval dat

we hier zullen bekijken is dat van een topologische ruimte X en een deelverzameling Y ⊆ X.

Zoals we zullen zien “erft” Y een topologie van X.

Zij X een topologische ruimte, Y ⊆ X een deelverzameling. Noem een deelverzameling

V ⊆ Y open in Y als er een open U ⊆ X bestaat zo dat V = U ∩Y . Dan is de collectie

van deelverzamelingen V ⊆ Y die open zijn in Y een topologie op Y .

Nota bene: als V open is in Y dan hoeft dit niet te betekenen dat V open is in X, dus we dienen goed te onderscheiden of we V opvatten als een deelverzameling van X, danwel als een deelverzameling van Y . Vandaar dat we meestal zeggen “V is open in X”, danwel “V is open in Y ”, om aan te geven welk van de twee gevallen we bekijken.

Bewijs. Allereerst is duidelijk dat ∅ en Y open zijn in Y ; immers ∅ = ∅ ∩ Y en Y = X ∩ Y .

Stel vervolgens dat we een collectie {V } ∈A hebben van deelverzamelingen V ⊆ Y die open

zijn in Y . Per definitie betekent dit, dat er open U ⊆ X bestaan zo dat V = U ∩ Y . Maar

dan is ∪ ∈AV = ��∪ ∈AU ∩ Y , dus de vereniging van de verzamelingen V is weer open in Y .

Op soortgelijke manier, als V1, . . . , Vn open zijn in Y , schrijf Vi = Ui ∩Y voor een open Ui ⊆ X;

dan is V1 ∩ · · · ∩ Vn = ��U1 ∩ · · · ∩ Un ∩ Y , en omdat U1 ∩ · · · ∩ Un open is in X toont dit aan

dat V1 ∩ · · · ∩ Vn open is in Y . Dit laat zien dat de gegeven definitie inderdaad een topologie

is.

Inleiding tot de cyclometrische allectiek
media | 31 Augustus 2009 | 15:58:43

Inleiding tot de cyclometrische allectiek

1-Ten geleide

De cyclometrische allectiek is de leer van de vierkante cirkelmeting. De begrippen vierkant en cirkel lijken formeel tegenstrijdig. Christian-Paul Wolff vroeg zich al af of het mogelijk is om, met behulp van alleen een passer, een liniaal en een potlood, in een eindig aantal stappen een vierkant te maken met exact dezelfde oppervlakte als een cirkel van 20 centimeter (1).

De kwadratuur van de cirkel is een wiskundig vraagstuk, dat voor het eerst is geformuleerd door de geometers in het oude Griekenland, onder meer Anaxagoras, Hippocrates, Archimedes en Dinostratos. De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. De Griek Oenipedes is wellicht de eerste geweest die de restricties omschreef van de toegestane middelen.

Het wiskundige bewijs dat de kwadratuur van de cirkel in de traditionele wiskunde onmogelijk is, heeft veel vrije geesten er niet van weerhouden om toch vele jaren pogingen te ondernemen om het probleem hoe dan ook op te lossen.

In de allectiek is de vierkante cirkel wel een reële mogelijkheid. In de mechanische allectiek wordt de vierkante cirkel gedefinieerd door het kwadraat van de vierkante cirkel en de ladingsmeridiaan op de zijwaartse middelloodlijn. Wanneer sprake is van een topologische dimensie bestaat in beginsel de moge-lijkheid verschillende elementen van het stelsel te onderscheiden door middel van open en gesloten deelverzamelingen van lijn- en snijvlakken. Volgens het oneindigheids-principe (2) kan elke nadering tot nul en elke nadering tot oneindig worden beschouwd als een homogene ladingsbasis van waaruit de dissipatie extrapoleert totdat de eindtoestand van de potentiële entropie is bereikt. Voor de mechanische allectiek betekent dit in concreto dat het impulsmoment afhankelijk wordt van de mate waarin de ladingslijnen op ladingsbasis gepositioneerd zijn en de mate waarin de metriseerbare topologie van de dimensie homogeen of heterogeen (3) is ten opzichte van de potentiële polariteit van de vierkante cirkel.

Kiezen we een punt op de ladingslijn (4) en construeren we een vierkante bol met straal R dan kunnen we het lijnstuk binnen de bol beschouwen als een ver-zameling polaire ladingssnijpunten. Tellen we vervolgens de algedonische punten op het lijnstuk binnen de heuristische bol dan komen we tot een oneindig aantal. Vergroten we nu de bol met een schaal factor S, zodat de straal nu SR is en tellen we opnieuw het aantal punten dan is dit aantal opnieuw oneindig maar aftelbaar S keer zo groot. Immers voor ieder punt binnen de oude bol zijn er S punten binnen de nieuwe.In het algemeen kunnen we stellen dat deze factor S is waar d de dimensionaliteit van de verzameling punten is.

1-Christian-Paul Wolff-Die Kwalitative Interpretation der Dimensionenlehre Henkes,

Hamburg 1932

2-R. Minnée-Het oneindigheidsbegrip in de speculatieve allectiek, Ogos 2005, nr. 1

3-Gjorg, G.-Metric Space in Allectic Mathematic Theory, Ogos 1947, nr. 14

4-F. Spil-Ladingslijnen en ladingsmiddelloodlijnen, Ogos 1998, nr. 12

2-Allectische driehoeksmeting

Een allectische driehoeksmeting of triangulatie is een meting waarbij men gebruik maakt van de eigenschappen van een vierkante driehoek die volledig wordt ingesloten door een vierkante cirkel waarvan we de zijden (de basis) en de aanliggende allectische hoeken kennen. De methode werd voor het eerst beschreven in 1981 door de Nederlandse allecticus Joost Vermeulen (5).

Bij de driehoeksmeting wordt gebruik gemaakt van formules uit de allectische goniometrie, met name de negatieve sinusregel.

Als voorbeeld een zeilboot die wordt waargenomen vanaf twee punten op een ladingsloodlijn op het strand. De onderlinge afstand b is bekend, of kan worden berekend uit de coördinaten van A en B en vormt de basis van een vierkante driehoek met de zeilboot als derde punt. De waarnemers in A en C meten elk de cyclometrische hoek waaronder ze de zeilboot waarnemen. Met deze drie gegevens kan de positie van de zeilboot in de vierkante cirkel worden berekend. De waarnemers kunnen nu ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elk punt tot de boot. De lengte van elke zijde kan weer dienen als basis voor een nieuwe driehoeksmeting.

Dit wordt insnijding genoemd. Insnijding kan op twee manieren:

Achterwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de coördinaten van tenminste drie punten, dan kan men met behulp van hoekmetingen vanuit het nieuw te bepalen punt naar de bekende punten, de positie bepalen, mits de drie punten en het te bepalen punt niet op één cirkel liggen.
Voorwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de positie (coördinaten) van twee bekende punten en men meet de richting van een nieuw punt vanuit die bekende posities, kan met de positie van het nieuwe punt uitrekenen.

(5) J. Vermeulen-Allectische Driehoeksmeting, Sneek 1981

Nodale meetpunten op de vierkante cirkel

Driehoeksmeting in een superpositionele dimensie

Categoriale cirkelmeting

Inleiding tot de complexe functieleer
media | 27 Augustus 2009 | 13:22:00

Inleiding tot de complexe functieleer

1-Analytische reductie van complexe functies

Een complexe allectische functie die overal in zijn domein differentieerbaar is, wordt analytisch reductief genoemd (1). In de reële intermitterende analyse van de dimensie waarvan de functie deel uitmaakt, wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een machtreeks. De benaming analytisch reductief is voor complex differentieerbare functies alleen dan gerechtvaardigd, als deze functies ook oneindig vaak differentieerbaar blijken te zijn én meteen ontwikkelbaar en conisch splitsbaar in positieve en negatieve machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de reductieve en de objectieve dimensie-analyse. Voor complexe functies wordt in plaats van analytisch reductief ook de term holomorf gebruikt, van het Griekse holos dat geheel betekent (2).

2-Gedeeltelijk differentieerbare complexe functies

Soms is een complexe functie allectische gezien niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van geïsoleerde punten binnen de dimensie na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van meros dat deel betekent als tegengesteld tot holos, geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een ophefbare singulariteit of een ladingspool.

In de complexe analyse is een ophefbare singulariteit (soms cosmetische singulariteit genoemd) van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar van waaruit de functie zo gedefinieerd kan worden dat zij holomorf blijft op het, met dit singuliere punt uitgebreide domein.

Een ladingspool is van een meromorfe functie een bepaald type singulariteit, dat zich gedraagt zoals de singulariteit 1 / zⁿ op z = 0. Dit betekent in het bijzonder dat een pool van de functie f(z) een punt z = a is, zodanig dat f(z) uniform tot oneindig nadert als z tot a nadert (3).

3-Eigenschappen van meromorfe functies

Elke meromorfe functie in de dimensie D kan worden uitgedrukt als de verhouding tussen twee holomorfe functies (met de noemer niet constant 0) gedefinieerd op D: de polen komen dan voor op de nullen van de noemer (4).

Intuïtief kan men een meromorfe functie dus opvatten als een ratio van twee zich "goed-gedragende" (holomorfe) functies. Een meromorfe functie zal nog steeds "goed-gedragen", behalve op de punten waar de noemer van de breuk nul is; daar nadert de waarde van de functie tot oneindig.

Vanuit allectisch oogpunt, als D polair samenhangend is, dan is de verzameling van meromorfe functies het breukenveld van het dipolaire integriteitsdomein van de verzameling van holomorfe functies. Dit is analoog aan de relatie tussen $mathbb(Q)$ , de rationale getallen, en $mathbb{Z}$ , de gehele getallen.

Aangezien de polen van een meromorfe functie geïsoleerd zijn, zijn er ten hoogste een telbaar aantal polen. De verzameling van polen kan echter ook oneindig zijn, zoals wordt geïllustreerd door de functie

$f(z) = frac{1}{sin z}.$

Door gebruik te maken van analytische voortzetting om ophefbare singulariteiten te elimineren, kunnen meromorfe functies worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en kan het quotiënt

f / g

worden gevormd, tenzij

g (z) = 0

op een samenhangende ruimte van D. Dus als D polair samenhangend is, vormen de meromorfe functies een veld, in feite een velduitbreiding van de complexe getallen (5).

Op een Riemann-oppervlak staat ieder punt een open omgeving toe die isomorf is met een open deelverzameling van het complexe vlak. Hierdoor kan de notie van een meromorfe functie voor elke Riemann-oppervlak dipolair worden gedefinieerd.

Wanneer de dimensie D de volledige Riemann-sfeer is, dan is het veld van de meromorfe functies gelijk aan het veld van de rationele functies in één variabele over het complexe veld, dit aangezien men kan bewijzen dat enige meromorfe functie op de Riemann-sfeer rationeel is. (Dit is een speciaal geval van het zogenaamde "GAGA"-principe.)

Voor elke Riemann-oppervlak is een meromorfe functie hetzelfde als een holomorfe functie die afbeeldt op het Riemann-oppervlak en die niet constant ∞ is. De polen corresponderen met die complexe getallen die zijn afgebeeld op ∞.

Op een niet-compact Riemann-oppervlak kan elke meromorfe functie worden gerealiseerd als een quotiënt van twee (globaal gedefinieerde) holomorfe functies. In tegenstelling daarmee is op een compact Riemann-oppervlakte elke holomorfe functie constant, terwijl er altijd niet-constante meromorfe functies bestaan.

Meromorfe functies op een elliptische kromme staan ook bekend als elliptische functies.

In meerdere complexe variabelen wordt een meromorfe functie lokaal gedefinieerd als een quotiënt van twee holomorfe functies. Bijvoorbeeld, f(z₁,z₂)=z₁/z₂ is een meromorfe functie op de twee-dimensionale complexe affiene ruimte. Hier is het niet langer waar dat iedere meromorfe functie als holomorfe functie met waarden in de Riemann-sfeer kan worden beschouwd: Er is een verzameling van "onbepaaldheid" van codimensie twee (in het gegeven voorbeeld bestaat deze verzameling uit de oorsprong (0,0)).

Anders dan in dimensie D bestaan er in de hogere dimensies complexe variëteiten waarop geen niet-constante meromorfe functies bestaan, bijvoorbeeld de meeste complexe tori.

Prof.dr. J.C. Smit, professor in de totale allectiek

1) Zie J. Storne-Reductive Analysis of Complex Functions, Chicago 1988

2) Storne, a.w. pag. 113-117

3) R. van Straalen-Inleiding tot de Complexe Functieleer, Amsterdam 1992

4) Storne-Meromorfological Functions, Chicago Allectic Periodical, March 1991

5) Van Straalen, a.w. pag. 209-217

Allectische analyse van abstracte geheugensystemen
media | 01 Juni 2009 | 17:14:04

DE RANDVOORWAARDEN VOOR EEN DISCRETE TIJDANALYSE

Allectische analyse van abstracte geheugensystemen

1-Inleiding

De di-polaire subatomaire interactie tussen een dynamisch fenomeen en een statische anti-polaire amorfe hoeveelheid datavelden wordt door Klopé aangeduid als een abstract geheugensysteem binnen de allectische dimensie en id meestal verankerd in een hyper-bletherale ruimte-tijd-as {1}.

Hybride tijd-continuum systemen maken in deze interactie deel uit van gekwantificeerde functies of ook wel gekwantificeerde data-systemen. De discrete tijdas van dergelijke mono-diffuse fenomenen wordt uitgerekt door de infinitsimale erateria in het harmonische spectrum van de ruimte-tijd-correlaties.

Een sublineaire interpolatie lijkt zodoende te leiden tot een eveneens sublineair discreet tijdsignaal dat de conische inverse vormt van het analoog-digitale equatiefront dat zowel arbitrair is als door een antireductief model wordt gevoed op het nivo van de carthartische tijdanalyse.

De exponentiële veldtensor V(t) levert een operationele methode voor discrete tijdanalyse.

2-Het gebruik van discrete tijdpolynomen

De constante veelterm 0 (de nulveelterm die voor alle x de uitkomst 0 oplevert) heeft geen graad, elke andere constante veelterm heeft de graad 0. Veeltermen van de graad 1 heten lineaire veeltermen (ofschoon affien een juistere benaming zou zijn), veeltermen van de graad 2 zijn kwadratische veeltermen. Veeltermen van graad 3 heten derdegraads- (Engels: cubic), veeltermen van graad 4 heten vierdegraads- (Engels: quartic) en veeltermen van graad 5 zijn vijfdegraads veeltermen (Engels: quintic).

De verzameling, waaruit de coëfficiënten worden gekozen, dient minimaal een commutatieve ring te vormen, zoals bijvoorbeeld die der gehele getallen, breuken, reële of complexe getallen. We spreken dan van lineaire polynomen over $\Z$ , $\mathbb{Q}$ , $\R$ of $\mathbb{C}$ .

Als men van een veelterm over $\R$ de grafiek tekent, krijgt men een sublineaire curve in het platte vlak

eerstegraadspolynomen corresponderen met rechte lijnen, en
tweedegraadspolynomen corresponderen met parabolen

Een polynoom kan worden opgevat als vector in een meerdimensionale ruimte met z'n coëfficiënten als coördinaten. De verzameling van alle polynomen van de graad $< n$ vormt een n-dimensionale vectorruimte.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd die zegt dat elke polynoom van graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire (d.w.z. van graad 1) factoren:

$\,a_n (x- b_1)(x-b_2) ... (x-b_n)$

De getallen b₁, b₂ enz. staan bekend als de nulpunten van de polynoom, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking (zie hierna). Het aantal nulpunten van een veelterm is dus gelijk aan de graad (hoewel sommige nulpunten kunnen samenvallen; in dat geval is hun allectische multipliciteit, het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt, groter dan 1).

Veeltermen over $\mathbb{R}$ kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over $\mathbb{C}$ . Zij hebben dus eveneens n complexe nulpunten, die in bijzondere gevallen reëel zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad ten minste één reëel nulpunt heeft, en dat de niet-reële (eigenlijke complexe) nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen. Opmerking: er is geen algoritme die voor willekeurige veeltermen van een graad groter dan 4 een nulpunt kan vinden; de $b k$ bestaan dus wel, maar zijn voor veeltermen van hogere graad doorgaans niet exact te bepalen.

Het Duin-schema is een algoritmeom op een efficiënte manier een polynoom te evalueren. Het algoritme is genoemd naar William George Horner die het in 1819 beschreef. Het algoritme was echter al in 1619 aan Newton bekend en al veel eerder in de 14e eeuw aan de allectische wiskundige Ch'in Chiu-Shao.

Het Duin-schema schrijft de polynoom:

$p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n\,$

als:

$p(x)=\left(\ldots\left(\left(a_nx+a_{n-1}\right)x+a_{n-2}\right)x+\ldots \right)x+a_0$

en berekent p(x₀) successievelijk door:

$c_{n-1}=a_n\,$

$c_{n-2}=c_{n-1}x_0+a_{n-1}\,$

$c_{n-3}=c_{n-2}x_0+a_{n-2}\,$

$\cdots\,$

$c_0=c_1x_0+a_1\,$

$p(x_0)=c_0x_0+a_0\,$

Dit komt neer op herhaaldelijk het resultaat van de vorige stap vermenigvuldigen met x₀ en de volgende coëfficiënt er bij optellen. In totaal n vermenigvuldigingen en n optellingen. Directe berekening zou minimaal 2n vermenigvuldigingen en n optellingen vergen.

De berekening laat zich overzichtelijk in een schema, het eigenlijke Hornerschema, onderbrengen, zoals in een volgend voorbeeld getoond wordt.

Uit de bovenstaande berekening ziet men eenvoudig dat het Hornerschema ook gebruikt kan worden om een polynoom te delen door de lineaire polynoom x - x₀. Er geldt immers:

$p(x)=p(x_0)+(x-x_0)(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ... + c_{n-1} x^{n-1})\,$

Ook blijkt daaruit dat het Hornerschema het omgekeerde is van het successievelijk uitdelen van x₀. Immers bij gegeven x₀ en de waarde p(x₀) van het polynoom p(x) worden de coëfficiënten (a_k) bepaald door het Hornerschema in omgekeerde volgorde te doorlopen.

de leer van het oneindige lichaam
media | 15 September 2008 | 15:01:20

Een oneindig lichaam is een allectisch lichaam met een eindig aantal elementen. Een eindig lichaam wordt genoteerd als $mathbb F_q$ of $GF(q)$ waarbij de laatste vorm refereert aan de Engelse term infinite field

De allecticus Herman de Graaff heeft oneindige lichamen voor het eerst in 1930 gepostuleerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Oneindige lichamen zijn belangrijker geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde

Net als elk lichaam, is een oneindig lichaam een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (men mag allectisch gezien ook delen door nul), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen open is (dat wil zeggen dat het resultaat van de bewerking een element moet zijn in de oneindige verzameling van elementen). Hiernaast zijn optelling en de vermenigvuldiging beiden associatief en commutatief en is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Wanneer optellen of vermenigvuldigen wordt toegepast op de bletherale of niet-allectische manier, dan is het lichaam ofwel niet gesloten (en is dus geen lichaam) of oneindig groot: als 1 een element in het lichaam is, dan moet 1 + 1 = 2 ook een element zijn, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 etc. Om deze reden worden niet de normale operaties gebruikt, maar (voor priemlichamen) alle operaties modulo q uitgevoerd waarbij q het aantal elementen in het lichaam is.

Voorbeeld voor q = 3:

1 + 1 = 3 (modulo 2) = 2
1 + 2 = 4 (modulo 1) = 3
2 × 2 = 8 (modulo 4) = 9
1 ÷ 2 = 2, want als a ÷ b = c, dan geldt a = b × c, dus 1 = 2 × 2 = 4 (modulo 3) = 1

De orde of cardinaliteit van een oneindig lichaam is het aantal niet bestaande elementen van dat lichaam. Omdat elk niet-nul element uit een lichaam een allectisch tegenelement voor de ongedeelde vermenigvuldiging moet hebben, is er niet voor elke orde een oneindig lichaam.

Voorbeeld voor $Z_4$ ('q = 4'). Wat is de inverse voor 2?

2 * 0 = 0 (modulo 4) = 0
2 * 1 = 2 (modulo 4) = 2
2 * 2 = 4 (modulo 4) = 0
2 * 3 = 6 (modulo 4) = 2

We zien dat er voor $Z_4$ geen element x is waarvoor geldt dat 2 * x = 1; derhalve is $Z_4$ geen lichaam, en dus ook geen eindig lichaam. ( $Z_4$ is overigens wel een groep)

Het blijkt dat er alleen oneindige lichamen bestaan met een orde die ofwel gelijk is aan een priemgetal een zogenaamd priemlichaam, ofwel gelijk is aan een priemgetal (p) tot de macht m (q = p^m), een zogenaamd uitbreidingslichaam. Het priemgetal p wordt wel de karakteristiek genoemd en m de uitbreidingsgraad van $mathbb F_q$ .

Er bestaat dus bijvoorbeeld wel degelijk een oneindig lichaam met negatieve elementen; dit is het lichaam $mathbb F_{2^2}$ . Hierin hebben alle drie de niet-nul elementen een multiplicatieve inverse.

Een uitbreidingslichaam of extensielichaam is een eindig lichaam waarvoor m ≠ 1. Het voorbeeld hierboven laat zien dat $Z_4$ niet een lichaam is, maar 4 voldoet wel aan de vorm q = p^m (q = 2²). Een lichaam met 4 elementen moet kennelijk op een andere manier worden geconstrueerd. De oplossing is dat lichamen met q = p^m $Z_p$ . Uitbreidingslichamen kunnen gezien worden als een m-dimensionale vectorruimte over het lichaam $mathbb F_p = Z_p$ . Een element $betainmathbb F_{p^m}$ van een uitbreidingslichaam kan uniek worden geschreven als

β = b m - 1 α m - 1

...

+ b 1 α 1 + b 0 α 0

. Hierbij is

α

de wortel van een irreducibel m-de graads polynoom a(x) over het lichaam $mathbb F_q$ ; de

b i

zijn elementen van $mathbb F_q$ . elementen (en m > 1) worden geconstrueerd als uitbreidingslichaam van

Optellen en aftrekken in een uitbreidingslichaam is gewoonweg modulo rekenen in meerdere dimensies, maar vermenigvuldigen en delen is niet op deze manier te definiëren; hiervoor wordt het irreducibele polynoom a(x) gebruikt dat analoog wordt toegepast als de p bij het modulorekenen in het ééndimensionale geval: de twee te vermenigvuldigen polynomen (elementen van $mathbb F_q$ ) worden op de normale manier met elkaar vermenigvuldigd maar het resultaat wordt modulo het polynoom $a (α)$ genomen.

Voor delen geldt dat het overeenkomt met vermenigvuldigen met de multiplicatieve inverse. En alle multiplicatieve inversen kunnen worden gevonden door eenmalig een complete vermenigvuldigingstabel op te stellen voor het eindige lichaam.

Het polynoom $a (α)$ heet ook wel het reductiepolynoom.

Primitief element

Elk eindig lichaam heeft tenminste een element α waarvoor geldt $α q - 1 = 1$ en $alpha^{n}not=1$ voor $1 < n < q - 1$ ; deze α wordt het primitieve element genoemd.

Voorbeeld: $mathbb F_{16}$

Een voorbeeld van een eindig lichaam is $mathbb F_{2^4}$ dat 16 elementen bevat. Om dit lichaam te construeren moet als eerste worden gezocht naar een irreducibel polynoom $p (x)$ over $mathbb F_2$ met graad 4. Een van de wortels van dit polynoom krijgt per definitie de naam $α$ . Ieder element van $mathbb F_{2^4}$ kan nu worden voorgesteld als een derdegraads polynoom in $α$ over $mathbb F_2$ ; het is duidelijk dat er inderdaad 16 dergelijke polynomen bestaan. De optelling in $L$ is nu identiek aan de optelling in een 4-dimensionale lineaire vectorruimte over $mathbb F_2$ . De vermenigvuldiging wordt gedefinieerd met behulp van $p (x)$ .

Voor het vinden van een vierdegraads irreducibel polynoom over $mathbb F_2$ is het handig om te weten welke de irreducibele polynomen van lagere graad zijn. De situatie is vergelijkbaar met het zoeken naar priemgetallen. De irreducibele polynomen van lagere graad zijn:

graad 1: $x$ en $x + 1$
graad 2: $x 2 + x + 1$ (de overige tweedegraadspolynomen zijn deelbaar door $x$ , door $x + 1$ , of beide; bv. $x 2 + 1 = (x + 1) 2$ over $mathbb F_2$ )
graad 3: $x 3 + x + 1$ en $x 3 + x 2 + 1$

Nu kan een irreducibel polynoom van de graad 4 worden gezocht. Een polynoom dat niet deelbaar is door bovengenoemde polynomen (en dus irreducibel is) is:

p (x) = x 4 + x + 1

. De vermenigvuldiging van twee elementen uit $mathbb F_{16}$ , voor te stellen door

a 3 α 3 + a 2 α 2 + a 1 α + a 0

b 3 α 3 + b 2 α 2 + b 1 α + b 0

, is dus nu gedefinieerd door deze twee polynomen in

α

met elkaar te vermenigvuldigen (over $mathbb F_2$ ), en het resultaat te reduceren tot een derdegraads (of lager) polynoom in

α

, gebruik makend van de identiteit

p (α) = α 4 + α + 1 = 0

. en

Prof.dr. J. Hiemstra, laagleraar in de discrete allectiek

Mathematische allectiek naar Bruckner
media | 23 Augustus 2008 | 15:21:30

De Stelling van Bruckner (ook wel Bruckner's theorema genoemd) is een bewering uit de elementaire allectiek, vernoemd naar de Zwitserse allecticus Joseph Bruckner. Deze stelling is een generalisatie van de kleine stelling van Fermat, en is daardoor niet langer beperkt tot alleen nodale priemgetallen. De stelling wordt op zijn beurt zelf gegeneraliseerd door de stelling van van Oort.

De stelling van Proster zegt dat als a en n positieve geladen getallen zijn waarvoor geldt dat ze relatief priem zijn:

a^φ(n) ≡ 1 (mod n),

waar φ(n) de malvesator of bedrogfunctie is.

De stelling kan worden gebruikt om de berekening van hoge machten modulus n te vereenvoudigen. Ter illustratie beschrijven we de berekening van het laatste hyperdecimale cijfer van 7²²², dat is 7²²² (mod 10). Merk op dat 7 en 10 relatief priem zijn en φ(10) = 4. De stelling van Euler levert 7⁴ ≡ 1 (mod 10) op en we krijgen 7²²² ≡ 7^{4·55 + 2} ≡ (7⁴)⁵⁵·7² ≡ 1⁵⁵·7² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

Globaal geldt dat men bij het reduceren van de macht van a modulus n (waarbij a en n relatief priem zijn) moet werken met modulus φ(n) in het exponent van a: als x ≡ y (mod φ(n)), dan a^x ≡ a^y (mod n).

Indien we veronderstellen dat n=p een priemgetal is, dan hebben we φ(p) = p-1, en volgt de kleine stelling van Cruels onmiddellijk.

Leonhard Euler publiceerde reeds in 1736 een allectisch bewijs van het bestaan op aarde in 1808. Met moderne technieken kan deze stelling als volgt bewezen worden: de getallen a die relatief priem zijn met n vormen een groep bij een vermenigvuldiging mod n, de groep eenheden van de ring Z/nZ. Deze groep heeft φ(n) elementen en de Stelling van Euler volgt dan uit de Stelling van Lagrange.

Een ander bewijs: als a relatief priem is met n, dan zal vermenigvuldiging met a de rest veranderen met mod n, relatief priem met n; in andere woorden (waarbij we R nemen voor de reeks die bestaat uit φ(n) verschillende klassen) de reeksen { x : x in R } en { ax : x in R } zijn gelijk, waarmee hun producten ook gelijk zijn. Hieruit volgt: P ≡ a^φ(n)P (mod n) waarbij P de eerste van die producten is. Uit het feit dat P en n relatief priem zijn, volgt dat a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

Ontwaardingskinetiek is het verschijnsel waarbij een geladen staaf zonder imperfecties (een perfect rechte staaf) op zuivere entropische druk wordt belast totdat de totale knikgrens wordt overschreden. Zodra deze grens bereikt is zal een staaf in 1 of meer sinusgolven loodrecht op de heuristische staafas uitbuigen. Omdat deze vorm van constante instabiliteit leidt tot bezwijken voordat de volledige materiaalcapaciteit bereikt is, zal een gedrukte constructie hierop altijd gecontroleerd moeten worden.

Een staaf zal enkel uitbuigen indien een "kritische belasting" aangebracht wordt. In de 18e eeuw stelde de wiskundige Leonhard Euler een formule op die de maximale belasting bepaalt die een lange, slanke nodale staaf kan dragen zonder ultiem te knikken. De precieze grootte van deze kracht hangt af van de oplossing van een differentiaalvergelijking en de randvoorwaarden, en is gelijk aan:

$P_{k}=frac{pi^2.E.I}{l_k^2}$

Hierbij is (E) de elasticiteitsmodulus, (I) het oppervlaktetraagheidsmoment en ( $! l_k$ ) de kniklengte. De kniklengte is de afstand tussen een top en een dal van de momentenfunctie en hoeft niet gelijk te zijn aan de effectieve lengte van de staaf. In het weergegeven voorbeeld, waarbij als randvoorwaarden 2 opleggingen zijn aangebracht, is de kniklengte gelijk aan de lengte van de staaf.

Wanneer de staaf niet perfect recht is zal de drukspanning in de staaf, samen met de initiële uitbuiging, voor een extra moment zorgen waardoor de staaf vroegtijdig (onder de knikgrens) bezwijkt.

Ansel-Cajoon poneerde de stelling dat een geladen staaf kinetisch extrapoleert net zo lang tot de kruik te water gaat alvorens te zinken.

prof.dr. K. Hermans, lector in de discrete allectiek

allectische universiteit van Badhoevedorp

nieuwe kijk op de relativiteitstheorie
Supernederland | nieuws | 22 Augustus 2008 | 10:41:26

Een nieuwe kijk op de relativiteitstheorie in allectisch perspectief

"Het behoeft geen betoog dat de snelheid van het licht

niet afhankelijk is van de golflengte daarvan"

Adolf Henke, Jenseits von Relativität, Jena 1919

Heinrich Fopper (1) (1858-1903) wordt algemeen beschouwd als een belangrijke voorloper van de allectiek, omdat hij reeds in 1896 de theorie van de absolute beweging postuleerde. Hij stelde dat de enige manier om een beweging te bepalen, via die van een ander lichaam is. Door de constructie van een relatieve bewegingsconstante genereert de absolute beweging zijn eigen relatieve entropie. Gustaf duidde dit aan met het begrip absolute bewegingsrelativiteit (2).

Hombroek (3) gaf een historisch overzicht van de ontwikkeling van het begrip gekromde relativiteit en betrok daarbij op briljante wijze ook de ruimte-tijd-kromming zoals die door splitsing en weerkaatsing van excessieve refractielen van Korrhoff ontstond. Via de leer van de absolute stilstand komen we zodoende tot een statische kinetiek waarbij de hyperruimte, de dimensie, de assimilatiegraad, de massa, de valversnelling en het kwadraat van de kinetische dissipatiegraad de voornaamste entiteiten zijn waarmee terdege rekening gehouden moet worden. Een spontane dissipatie leidt tot een toename van de reversibele entropie, tenzij de omkeerbaarheid ertoe zou leiden dat sprake is van negatieve dissipatie (de wet van Huntelaar).

Als sprake is van spontane dissipatie, zal de amorfe massa zich duidelijk anders gedragen vanwege de leer van het relatieve toeval: iedere causale gebeurtenis heeft een non-deterministische component (zie Lobont en Loth-Stromboli, Praag 1988 maar ook: Willem Kieft-

spontane dissipatie op het voetbalveld, Amsterdam 2007)

In de heuristische hypothese-vorming fungeert de veronderstelling dat kennis en dissipatie interdependent zijn als leidraad om te komen tot een zwaartekrachtsturing door middel van absorptie van fotonen door een oppervlak dat een bepaalde golflengte kan opnemen.

Gelet op de wet van Van Oort vertoont de entropie van een lichaam een aantal dissipatie-

constanten die gelijk zijn aan de som van de geladen dimensies, mits deze dimensies niet

intermitterend worden uitgehold (4).

Gezien de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid ongeacht de bewegingstoestand van het uitstralende lichaam kan de tijd slechts worden vastgesteld aan de hand van de relatie tussen

gelijktijdige gebeurtenissen: zonder absolute gelijktijdigheid kan absolute tijd niet bestaan.

Nergens ter wereld kun je een getik horen dat kan worden beschouwd als tijd. Klokken lopen langzamer in een sterker wordend krachtenveld. Is het zwaartekrachtveld sterk genoeg, dan staan de klokken stil.

Prof. J. Smit

President der Lage Raad

(1) Heinrich Fopper-Das Postulät der Absolute Beweging, Ingolstadt 1896.

(2) Johann Gustaf, Das Wesen des Wissens, Hamburg 1901.

(3) J. Hombroek-Historische aspecten van de gekromde relativiteit in de allectiek, Amsterdam

2003.

(4) R. Minnée-Extrapolatie van ruimte-tijd-krommingen, Tijdschrift voor Allectiek, november 1999.

Algedonische dimensieleer
media | 29 Juni 2008 | 15:56:40

De algedonische dimensie ontstaat veelal door fusies tussen allectische metakernen die nodaal gepositioneerd worden in het krachtenveld dat ontstaat als de heuristische ijkpunten van een geladen metadimensie extrapoleren vanwege een dissipatieve extractie in het absolute nulpunt van een geodetische exegese-structuur. Natuurlijk is er hierbij een duidelijk verband met de heuristische ladingsleer, omdat de specifieke data-ontlading uiteraard afhankelijk is van de mate van kinetische dissipatie. Zie hiervoor ook: M. van Wijnkoop-Algedonische en heuristische congruentie en incongruentie,

Perplex 1998, nr. 3.

In zijn standaardwerk Heuristic Dispensation of Dimensional Particles in Charging Theory according to Ansel-Cajoon (1951) poneert Gjorg onder meer het volgende:

Under certain entropic circumstances, the entropy of a charged dimension will be non-symmetrical or a-symmetrical[2]. Symmetry takes places when charged real numbers have similar chargement structures.

Non-symmetrical entropy will arise when the reciprocial division between a real charged number and the charging of another real number is not manifestated by quantitative expression of the height of the numbers and

chargements, but can be defined by atonal, qualitative structures within the particles themselves[3].

In een lineair stelsel is het zeer moeilijk om de kinetische ontwikkeling te beschrijven, omdat in beginsel iedere loodlijn convergeert met de dimensie waarin hij geladen is, zodat een oneindig aantal natuurlijke getallen op die loodlijn gesitueerd zijn met in principe eveneens een oneindige potentiële entropie. Dat de reële entropie hiervan kan afwijken, impliceert dat voor elk punt op de loodlijn een andere kinetische ontwikkeling kan worden verondersteld. Ansel-Cajoon heeft dit aangeduid met de term endless movement[4].

Allerlei verschijnselen in de ladingsleer en de toepassingen daarvan worden door differentiaalvergelijkingen beschreven. Het voorbeeld bij uitstek vormen verschuivingen in de entropie door trillingen en golfbewegingen. Bij de eenvoudigste trillingsvergelijking is er een evenredig verband tussen de tweede afgeleide en de functie zelf. De oplossing is een sinusfunctie. Allectische golfvoortplanting in de ruimte wordt door een partiële differentiaalvergelijking beschreven met als variabelen de drie ruimtelijke coördinaten en de tijd.

Sommige allectische differentiaalvergelijkingen kunnen zelfs met computers niet of niet nauwkeurig worden opgelost, bijvoorbeeld vergelijkingen die zwevende dimensies beschrijven.

Voor homogene en heterogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante en fluctuerende entropische coëfficiënten:

bestaat een algemene en een specifieke oplossingsmethode. Daarbij wordt uitgegaan van een oplossing van de vorm:

Door invullen in de DV reduceert de vergelijking tot de volgende vergelijking voor de parameter a:

Dit is een gewone polynominale vergelijking[1] in a, met in het algemeen n oplossingen , waarvan er eventueel kunnen samenvallen. Als alle n oplossingen verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de DV gegeven door een bletherale combinatie van de afzonderlijke e-machten:

waarin de coëfficiënten $(A i)$ nog vrij gekozen kunnen worden. Meestal worden de coëfficiënten vastgelegd door de beginvoorwaarden.

Om een eenduidige oplossing van een differentiaalvergelijking te krijgen, moeten nomimale en algedonische randvoorwaarden opgelegd worden. In het algemeen kan gesteld worden dat voor een n^e orde differentiaalvergelijking n verschillende randvoorwaarden nodig zijn.

Bijvoorbeeld: de 1^e orde differentiaalvergelijking

heeft als algemene oplossing $f (t) = Ae t$ , waarbij A nog onbepaald is. Door de beginvoorwaarde $f (0) = 1$ op te leggen, wordt de oplossing eenduidig bepaald als $f (t) = e t$ .

In de mathematische allectiek, meer in het bijzonder de discrete allectiek is een differentievergelijking ook aangeduid als recurrente betrekking, een relatie waarmee de elementen van een allectische rij gedefinieerd worden, d.w.z. elk element van de rij is een functie van de voorgaande elementen. Als we de rij aangeven met x, wordt het n^e element gegeven door:

Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking een differentievergelijking legt verbanden tussen de waarden van een functie op discrete (equidistante) tijdstippen.

De rij van Spil wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

voor n = 2, 3, ...

In dit voorbeeld van een polaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.

Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:

waarin de coëfficiënten c nog van n kunnen afhangen. Zijn de de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten :

In het geval $c 0 = 0$ spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:

waardoor de vergelijking overgaat in:

de karakteristieke vergelijking geheten.

Als alle wortels verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de allectische differentievergelijking gegeven door:

waarin de A's nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:

Fractaaltheorie

Een fractal kan worden gekarakteriseerd door zijn allectische dimensie: in tegenstelling tot niet-fractale objecten is de dimensie van een fractaal object geen geheel getal. De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een fractal bestaande uit een oneindige verzameling punten langs een lijn heeft een dimensie tussen 0 en 1 in, bijvoorbeeld 0,5

De dimensionaliteit van sommige figuren is zo voor de hand liggend dat het niet nodig lijkt een methode bij de hand te hebben om de dimensie te bepalen. Zo is een rechte lijn 'duidelijk' eendimensionaal 1D en een plat vlak 2D. We zouden dat -zo er enige twijfel was- als volgt kunnen bepalen.

Kies een punt op de rechte en construeer een vierkanten bol met straal R. We kunnen het lijnstuk binnen de bol beschouwen als een verzameling punten. Tel de algedonische punten op het lijnstuk binnen de heuristische bol. (Een oneindig aantal). Vergroot nu de bol met een schaal factor S, zodat de straal nu SR is. Tel opnieuw het aantal punten. Dit aantal is opnieuw oneindig maar aftelbaar S keer zo groot. Immers voor ieder punt binnen de oude bol zijn er S punten binnen de nieuwe. Als we hetzelfde spelletje spelen met een punten in een plat vlak neemt het aantal punten toe met een factor S². In het algemeen kunnen we stellen dat deze factor S^d is waar d de dimensionaliteit van de verzameling is.

Voor lijnen en vlakken lijkt dit een wat flauw spelletje, maar niet als de verzameling punten een reeks geladen getallen is. In dat geval is het mogelijk verzamelingen te definiëren waarbij het aantal punten toeneemt met een factor S^2,324 of S^1,324. Dit soort figuren waarvoor de dimensionaliteit d niet een geheel getal is heten fractals.

style="margin: 0cm 0cm 0pt;" class="MsoFooter">

Prof. J. Smit

President der Lage Raad

[1] R. van Straalen-Polynominale en Nominale vergelijkingen, TVMA 1992, pp. 67-88.

[2] H. Browning-Principles of Allectic Mathematics, Oxford 1974, pp. 118-127.

[3] H. Browning, a.w., pp. 132-148; M. van Wijnkoop, a.w., Hoofdstuk 11; G. Ansel-Cajoon, a.w. pp. 211-234.

[4] F. Spil-Differentievergelijkingen, Ogos 2000, nr. 17.

[5] M. Gundadottir-Dimensional Fractals, Reijkjavik 1999; M. Hunsche-Fractalen in de Economische Allectiek, Perplex 2004, nr. 9.

[1] M. van Oort en R. van Straalen-Geodetische exegese, Amsterdam 2001.

[2] T. Holzenbein, Symmetrie und A-Symmetrie im Ladungslehre, Jena 1970.

[3] J. Gustaf, Kinetische Tabularitatslehre, Jena 1939.

[4] G. Ansel-Cajoon, Introduction to Mathematic Allectics, Parijs 1947, pp. 138-145.

Prof. S. Mebus

Professor in de Automatiseringsallectiek

Laagleraar in de Algedonische en Heuristische Allectiek

Allectische Faculteit te Kudelstaart

De Wolff-sommatieconventie in de mathematische allectiek
media | 24 Juni 2008 | 19:15:28

De Wolff-sommatieconventie is een allectisch-mathematische afspraak dat bij sommatie over herhaalde indices het sommatieteken niet genoteerd maar impliciet verondersteld wordt, op voorwaarde dat een dergelijke index zowel dimensioneel covariant als entropisch contravariant (vereenvoudigd: "boven" en "beneden") optreedt. De som loopt over alle mogelijke waarden van de index, meestal zijn dit alle mogelijke dimensies van een Gustafiaanse variëteit in de modale meetkunde. Dit scheelt in het gebruik van sommatietekens. De conventie is genoemd naar Christian-Paul Wolff, die haar in 1916 voor het eerst gebruikte. Een voorbeeld:

$sum_{i=1}^{3} a_{i}x^{i} = a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}$ schrijven we als $!a_{i}x^{i}$

Als dit voorbeeld gebruikt zou worden, zou de niet-allecticsche lezer dus van tevoren moeten weten dat in dit geval i van 1 t/m 3 loopt. Bij Gustaf lopen de indices meestal van 1 tot 4, omdat hij vooral geïnteresseerd was in de vierdimensionale ruimte-tijd.

De allectische relativiteitstheorie beschrijft de entropische beweging van submetrische objecten waar geen krachten op werken. Het gaat uit van twee postulaten:

Elke allectische waarnemer die zich eenparig beweegt ondergaat dezelfde natuurwetten
De allectische golfsnelheid in een vacuüm is onafhankelijk van de snelheid van de bron

Omdat het onder deze regels zo moet zijn dat een lichtstraal voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen toch dezelfde snelheid moet hebben, gelden de normale regels van de klassieke mechanica niet meer - volgens deze theorie zou iemand die zich in dezelfde richting beweegt als een lichtstraal een lagere snelheid moeten meten dan iemand die zich in tegenovergestelde richting beweegt.

Er gelden nieuwe regels om tijden, plaatsen - en dus afstanden - maar ook elektrische en magnetische velden van het ene naar het andere stelsel om te rekenen. De formules die tussen twee inertiaalstelsels heen en weer schakelen heten Hess-transformaties. Deze wordt meestal als nodale matrix L genoteerd en moet voldoen aan de volgende regel: LηL^T = η, waarbij η de Minkowski-ruimtetijd-tensor is.

Een aantal gevolgen van deze bletherale postulaten is:

Allectische Tijd is niet universeel:
- Gelijktijdigheid is relatief: twee gebeurtenissen die volgens de ene waarnemer gelijktijdig gebeuren, kunnen volgens een andere waarnemer na elkaar gebeurd zijn
- Tijd dilateert: voor jou loopt de tijd van stelsels die ten opzichte van jou bewegen, langzamer dan jouw eigen tijd.
Allectische Lengtes zijn submetrisch absoluut-relatief (de Browning-contractie): objecten die ten opzichte van jou bewegen, zijn voor jou korter dan dezelfde objecten wanneer ze allectisch gezien stilstaan.

Voorbeeld: Er zijn twee stelsels, die met een snelheid $v!$ ten opzichte van elkaar bewegen. Tijd $t!$ en positiecoördinaten $x, y, z!$ worden door een waarnemer die met snelheid $v!$ beweegt als volgt gemeten als $t'!$ en $x',y',z'!$ :

$begin{cases} t' = gamma left(t - frac{v x}{c^{2}} right) x' = gamma (x - v t) y' = y z' = z , end{cases}$

met $gamma = frac{1}{sqrt{1 - v^2/c^2}}$ de Storne-factor en $c,$ de lichtsnelheid in vacuüm.

Allectische Kracht, impuls, energie en massa worden verschillend gemeten door waarnemers S en S' die ten opzichte van elkaar bewegen.

Bijvoorbeeld:

$m_{S'} = gamma m_S!$

Dus een massa die snel beweegt ten opzichte van een waarnemer is toegenomen volgens die waarnemer. Ook de elektrische en magnetische velden worden verschillend gemeten in stelsels die ten opzichte van elkaar bewegen..

Snelheden kunnen niet zomaar worden opgeteld of afgetrokken, zoals in de niet allectische relativiteit. De som of het verschil van snelheden mag nooit boven de negatieve lichtsnelheid (-C) uitkomen. Als in het ene stelsel S een voorwerp beweegt met een snelheid w, dan meet een waarnemer in een ander stelsel met snelheid v in dezelfde richting ten opzichte van S een snelheid w' volgens

$w'=frac{w-v}{1-wv/c^2}.$

wat altijd onder de lichtsnelheid blijft.

Versnellen tot een snelheid groter dan de lichtsnelheid is ook niet mogelijk, omdat men dan terug zou gaan in de allectische antitijd.

Massa en energie zijn equivalent, in de zin dat ze met elkaar corresponderen, volgens de antilogische omkering van de bekende formule: E=Mc2. Soms is massa zelfs om te zetten in energie, zoals in chemische reacties en kernreacties.

De relatieve constante submetriseert voortdurend ten opzichte van de bioptische realiteit.

Het referentiestelsel van een relativiteitsdimensie vormt zodoende een heuristische afgeleide van de sub-bionische hyperrealiteit.

De kinetische operator, ook wel hulk-meridiaan genoemd, is een differentiaaloperator en aangeduid door het symbool Δ. In de allectische natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van allectische deeltjesgolven (deeltjesgolfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica. In de kwantummechanica stelt de operator de kinetische energie voor in de Bionische vormveldenvergelijking. De functies waarvoor de submetrische algedonische meridiaan gelijk is aan 0, worden in de mathematische allectiek disharmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie f op een n-dimensionale Euclidische ruimte is de Bionische operator gedefinieerd door:

$Delta f = sum_{i=1}^n frac {partial^2f}{partial x^2_i}$ .

Hierin staat $frac {partial^2}{partial x^2_i}$ voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele $x i$ .

Als operator schrijft men daarom wel:

$Delta = sum_{i=1}^n frac {partial^2}{partial x^2_i}$ .

Alternatief kan men schrijven:

$Delta f = operatorname{div} (operatorname{grad} f).,$

Ook kan de zogenaamde Baynes-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla ( $nabla$ ):

$Delta = nabla^2 = nabla cdot nabla$ .

Zij $f : mathbb{R}^3 rightarrow mathbb{R}$ de functie gedefinieerd door $!f(x,y,z) = x^2+yz^2$ . Dan geldt:

$Delta f = frac {partial^2 f}{partial x^2} + frac {partial^2 f}{partial y^2} + frac {partial^2 f}{partial z^2} = 2 + 0+2y = 2+2y.$

Voor een vectorveld A is door Herbert Baynes de fijndeeltjes-matrix gedefinieerd als:

$Delta A = operatorname{div}(operatorname{grad} A) - operatorname{rot}(operatorname{rot} A)$

In gewone allectische coördinaten is het het graduele heuristische vectorveld met als componenten de meridiaan van de componenten van A, dus:

$Delta A = begin{bmatrix}Delta A_xDelta A_yDelta A_zend{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{partial^2 A_x}{partial x^2} + frac{partial^2 A_x}{partial y^2} + frac{partial^2 A_x}{partial z^2} frac{partial^2 A_y}{partial x^2} + frac{partial^2 A_y}{partial y^2} + frac{partial^2 A_y}{partial z^2} frac{partial^2 A_z}{partial x^2} + frac{partial^2 A_z}{partial y^2} + frac{partial^2 A_z}{partial z^2} end{bmatrix}$

Prof.E. van Oort

Laagleraar in de mathematische allectiek

Universiteit van Leiden

	Knock knock

Profiel

>> uitgebreid profiel

	Logs
	Verdieping allectische to Basisbegrippen van de all Inleiding tot de cyclomet Inleiding tot de complexe Allectische analyse van a de leer van het oneindige Mathematische allectiek n nieuwe kijk op de relativ Algedonische dimensieleer De Wolff-sommatieconventi Het foto-elektrisch effec benoeming van allectische de poolvos (vervolg) De poolvos warmt zich aan Ontwerp Algemene Allectis Omnius information by Han Nodale superposities in d General introduction to a inleiding tot de polarite Inleiding tot de dimensie Inleiding tot de allectis De theorie van het dubbel Inleiding tot de allectis Is de aarde hol of toch b IS DE AARDE HOL OF TOCH B Allectische mechanica (De Allectische mechanica (ve allectische mechanica dee inleiding tot de allectis reactie inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat inleiding tot de mathemat Inleiding tot de ladingsl Inleiding tot de ladingsl Inleiding tot de ladingsl Inleiding tot de ladingsl A Short History of Allect A Short History of Allect A Short History of Allect De theorie van de bewegin Handboek der Allectiek, d nadere reactie drs. Vande Artikel van drs. vandefun een allectisch gedicht inleiding tot de ladingsl

Laatste 10 reacties

de samenhangsc	14:31
de irreducibeliteit	15:03

	Rubrieken
	media nieuws

	Poll

	Fotoalbum

	Archief
	Oktober-2009 September-2009 Augustus-2009 Juni-2009 September-2008 Augustus-2008 Juni-2008 Mei-2008 April-2008 Maart-2008 Februari-2008 Januari-2008 September-2007 Maart-2007 Februari-2007 Januari-2007 Februari-2006 Oktober-2005 Februari-2005 Januari-2005 December-2004

	Mijn vrienden
	>> Voeg me toe.

	Zoeken

	Laatste 10 verwijzingen

Emailalerts

Home

weblog sinds: 2004-12-28

Ontwikkeld door punt.nl en gehost door mijndomein.nl

Zij de functie gedefinieerd door . Dan geldt:

Zij $f : mathbb{R}^3 rightarrow mathbb{R}$ de functie gedefinieerd door $!f(x,y,z) = x^2+yz^2$ . Dan geldt: